Aflonyddiad Hynod

Problemau aflonyddiad hynod

Mae problem aflonyddiad hynod (yn wahanol i broblem aflonyddiad rheolaidd) yn broblem sy'n cynnwys paramedr bach, ac lle nad yw'n bosibl ei brasamcanu'n unffurf trwy osod y paramedr i sero. Hynny yw, nid yw'n bosibl brasamcanu'r datrysiad yn unffurf gyda'r ehangiad asymptotig

\[ \sum_{n=0}^N \delta_n(\varepsilon)a_n(x),\quad \varepsilon\to 0. \]

Ar gyfer hafaliadau algebraidd, mae hyn yn aml yn arwain at golli israddau. Hynny yw, mae dull aflonyddiad rheolaidd yn canfod llai o israddau na'r disgwyl.

Ond i le aeth yr isradd coll?

Rydym wedi gweld mewn darlithoedd fod ceisio defnyddio techneg aflonyddiad rheolaidd er mwyn brasamcanu datrysiadau i broblemau aflonyddiad hynod yn achosi i israddau gael eu colli. Ond pam hynny?

Yn y darlithoedd, ystyriwyd yr enghraifft o'r hafaliad gwadratig ag aflonyddiad hynod

\[ u-1+\varepsilon u^2=0. \]

Trwy ddefnyddio'r dull arferol (aflonyddiad rheolaidd), esgeulusir y term \(\varepsilon u^2\) wrth edrych ar yr achos terfyn. Mae hyn yn anghywir, gan fod \(u^2\) yn mynd yn fawr iawn ar gyfer un o'r israddau wrth i \(\varepsilon\to 0\), ac felly er bod \(\varepsilon\) yn fach, nid yw \(\varepsilon u^2\) o reidrwydd yn fach.

Sut allwn ni ganfod yr israddau coll?

Gan na wnaeth yr ansats aflonyddiad rheolaidd (h.y. brasamcanu israddau \(x\) fel \(x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\ldots\)) ddatrys y broblem, mae angen dull newydd. Dylai'r ansats efelychu ymddygiad gwael yr israddau, hynny yw, dylai ddargyfeirio wrth i \(\varepsilon\to 0\). Felly defnyddir yr ansats aflonyddiad hynod

\[ x(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon^\alpha}z(\varepsilon),\qquad z(0)\neq 0, \]

lle mae \(\alpha>0\) yn gysonyn i'w ddewis yn ôl y broblem.

Gelwir y dull ar gyfer dewis \(\alpha\) yn ddull cydbwysedd trechol. Y syniad yw dewis \(\alpha\) fel bod dau (neu fwy) o'r termau yn yr hafaliad o'r un drefn, tra bod y termau eraill o drefn uwch (llai negatif). Gwelwyd sawl enghraifft o hyn yn y nodiadau darlith, gan arwain at y dull systematig o lunio graff Kruskal–Newton.

Graffiau Kruskal–Newton a'u canlyniadau

Defnyddir y rhain i benderfynu pa werthoedd o \(\alpha\) ddylid eu defnyddio i ganfod yr israddau aflonyddiad hynod (h.y. yr israddau a gollir gan y dull aflonyddiad rheolaidd). Mae'r broses yn adnabod gwerthoedd \(p,q\) lle mae'r cyfernodau \(C_{p,q}\) yn ansero pan ysgrifennir yr hafaliad algebraidd yn y ffurf

\[ \sum_{p,q} C_{p,q}\varepsilon^q x^p=0. \]

Plotiwch y pwyntiau \((p,q)\) a darganfyddwch yr holl leoliadau posibl ar gyfer llinell sy'n mynd trwy ddau neu fwy o'r pwyntiau gyda phob pwynt arall yn gorwedd uwchben y llinell.

Bydd goleddau'r llinellau hyn yn rhoi gwerthoedd o \(-\alpha\) (cofiwch yr arwydd minws) i'w defnyddio yn yr ansats aflonyddiad hynod \(x=\varepsilon^\alpha z(\varepsilon)\). Dylid bob amser wirio bod y pŵer o \(\varepsilon\) yn negatif mewn unrhyw ansats aflonyddiad hynod.

Yn olaf, amnewidiwch yr ansats (neu'r ansatsau) i'r hafaliad gwreiddiol, ac yna defnyddiwch ddulliau aflonyddiad rheolaidd ar \(z\). Hynny yw, brasamcanwch \(z\) yn y ffurf

\[ z=z_0+\varepsilon z_1+\varepsilon^2 z_2+O(\varepsilon^3),\quad \varepsilon\to 0. \]