Aflonyddiad Rheolaidd

Nodiant Landau

Mae pob un o’r diffiniadau canlynol yn ymwneud â thri achos. Hynny yw, mae pob diffiniad yn dri diffiniad mewn un; dewisiwch yr un addas pan yn delio â phroblemau penodol.

Diffiniad o’r O-Fawr

Gadewch i \(f,g\) fod yn ffwythiannau â gwerthoedd real. Os oes cysonion positif \(C\) a \(\delta\) yn bodoli fel bod \(|f(x)|\leq C|g(x)|\) ar gyfer pob

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 0<x<\delta\\ x>\delta\\ |x-a|<\delta \end{pmatrix}, \end{split}\]

yna rydym yn dweud fod \(f(x)=O(g(x))\) wrth i

\[\begin{split} \begin{pmatrix} x\to 0\\ x\to \infty\\ x\to a \end{pmatrix}. \end{split}\]

Diffiniad o’r O-Fach

Gadewch i \(f,g\) fod yn ffwythiannau â gwerthoedd real. Os oes \(\delta=\delta(c)\) yn bodoli ar gyfer pob \(c>0\) fel bod \(|f(x)|\leq c|g(x)|\) ar gyfer pob

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 0<x<\delta\\ x>\delta\\ |x-a|<\delta \end{pmatrix}, \end{split}\]

yna rydym yn dweud fod \(f(x)=o(g(x))\) wrth i

\[\begin{split} \begin{pmatrix} x\to 0\\ x\to \infty\\ x\to a \end{pmatrix}. \end{split}\]

Diffiniad o Gywerthedd Asymptotig

Gadewch i \(f,g\) fod yn ffwythiannau â gwerthoedd real a bod \(g(\varepsilon)\neq 0\). Os yw

\[ \lim_{\varepsilon\to 0+}\frac{f(\varepsilon)}{g(\varepsilon)}=1, \]

yna rydym yn dweud fod \(f(\varepsilon)\sim g(\varepsilon)\) wrth i \(\varepsilon\to 0\).

Noder y gwahaniaeth rhwng y ddau ddiffiniad cyntaf: ar gyfer yr O-fawr, mae’r anhafaledd \(|f(x)|\leq C|g(x)|\) yn gorfod cael ei bodloni ar gyfer o leiaf un gwerth o \(C\), ond ar gyfer yr o-fach, mae’n rhaid i’r anhafaledd \(|f(x)|\leq c|g(x)|\) ddal ar gyfer pob \(c>0\).

Dilyniannau ac ehangiadau asymptotig

  • Gelwir dilyniant \(\delta_n(\varepsilon)\), \(n=1,2,\ldots\), yn ddilyniant asymptotig os yw \(\delta_{n+1}(\varepsilon)=o(\delta_n(\varepsilon))\).

    Mae \(\delta_n(\varepsilon)=\varepsilon^n\) yn enghraifft gyffredin.

  • Gelwir swm o’r ffurf

    \[ \sum_{n=1}^N a_n(x)\delta_n(\varepsilon) \]

    yn ehangiad asymptotig o ffwythiant \(f(x,\varepsilon)\) wrth i \(\varepsilon\to 0\) os yw

    \[ f(x,\varepsilon)-\sum_{n=1}^M a_n(x)\delta_n(\varepsilon) =o(\delta_M(\varepsilon)),\quad \varepsilon\to 0, \]

    ar gyfer pob \(M=1,2,\ldots,N\). Os yw’n wir ar gyfer pob \(N\), yna

    \[ f(x,\varepsilon)\sim\sum_{n=1}^\infty a_n(x)\delta_n(\varepsilon), \quad \varepsilon\to 0. \]

  • Mae’r cyfernodau asymptotig \(a_n(x)\) yn unigryw.

Problemau aflonyddiad rheolaidd

Rydym wedi gweld problemau aflonyddiad rheolaidd sy’n cynnwys paramedr bach \(\varepsilon\). Gellir crynhoi’r dull cyffredinol fel:

  • Ehangwch y ffwythiant anhysbys fel cyfres bŵer yn \(\varepsilon\):

    \[ u=u_0+\varepsilon u_1+\varepsilon^2 u_2+O(\varepsilon^3). \]

  • Amnewidiwch i mewn i’r hafaliad.

  • Cymharwch gyfernodau graddau gwahanol o \(\varepsilon\).

Ar gyfer ODEs ag amodau ffin, gosodir yr amodau ar y term arweiniol. Os \(u(0)=\cos x\), yna

\[ u_0(0)=\cos x,\quad u_1(0)=0,\quad u_2(0)=0,\ldots \]